97 / 108
Kafli 6 • Æfingasíður
95
6.108
Euler var fyrstur til að nota ritháttinn
f
(
x
) til að skilgreina stæður sem fall
af breytilegu gildi,
x
. Hann þróaði mikið af nýrri stærðfræði tengdri föllum
og athugunum á þeim, verk sem hann þurfti að vinna án hjálpartækja.
a
Notaðu grafískt teikniforrit og teiknaðu gröf fallanna
f
og
g
á bilinu
– 5 < x < 5 þegar
f
(
x
) =
x
3
+ 2
x
2
− 5
x
− 2 og
g
(
x
) = 3
x
− 2
b
Notaðu myndina með gröfunum til að leysa jöfnuna
f
(
x
) =
g
(
x
).
6.109
Notaðu margflötungsreglu Eulers.
a
Teldu horn, brúnir og fleti í fjórflötungnum hér að
ofan og sýndu að margflötungsregla Eulers gildir
fyrir þennan hlut.
b
Fótbolti er samsettur úr 20 sexhyrningum og
12 fimmhyrningum. Útskýrðu út frá myndinni
hvers vegna við getum verið viss um að fótboltinn
hafi 60 horn án þess að telja þau.
c
Notaðu margflötungsreglu Eulers til að reikna út
fjölda brúna á fótboltanum.
Leonard Euler
(1707–1783) fæddist í Sviss en
starfsvettvangur hans sem prófessor í stærðfræði
var við vísindaakademíuna í St. Pétursborg. Euler er
ef til vill afkastamestur allra stærðfræðinga og fyllir
heildarútgáfa verka hans meira en 100 bindi. Eitt
margra starfssviða var rannsókn á margflötungum.
Margflötungar eru þrívíðir hlutir sem afmarkast af
marghyrningum.
Margflötungsregla Eulers:
Fjöldi
horna
+ fjöldi
flata
= fjöldi
brúna
+ 2
Einfaldasti margflötungurinn er fjórflötungur,
þríhliða píramídi samsettur úr fjórum jafnhliða
þríhyrningum.
brún
horn
flötur